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一份推荐书目,以及自己学数学的一些感想--zz[复制链接]
发表于 2021-10-12 23:15:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
我觉得可能会有一些人雄心万丈的来数学系,跟着大班上了会儿课,就觉得学的太无聊或者太无趣,误以为数学就是自己所学的这么点东西,从而对数学完全失去兴趣。如果你是这样的人,如果你对数学抱有强烈的兴趣,并且乐意devote每个礼拜的至少课外的40+个小时来学数学的话,可以看看我推荐的这些书。。。即使诸君不打算将来从事数学工作,也可以来看看这里的一些书,了解一些真正的数学(虽然也只是基础啦)那也是真的挺不错的。

我个人是把纯数学分成五个部分,分析,代数,几何,拓扑,数论。
我发现网上推荐的书单居然都是十几本数学分析,十几本线性代数,以及许多习题集,真有人按那来学那无疑是会废掉的,我强烈反推荐人们以科普书入门(这会让人自以为很懂数学),以及反推荐人们去认真阅读习题集,反例集等等垃圾书(是的,我强烈不喜欢吉米多维奇,没见过多少真正有所成就的人会喜欢那个的)。但我并非反对人们做题目,我自己是个刷题狂魔,好的书,好的题目才有做的必要。许多国内研究生大学四年就只做数学分析和线性代数,虽然考到不错的学校,但是水平还不如一些大神大三的水平,究其原因就是浪费了大学这四年,不过这些Yau都谈过很多,我就不再赘述了。好了,喷完了,开始认真写。

集合论,数学分析,线性代数(或称高等代数)这些比较基础的东西我就随便说两句好了。数学分析看数学分析(卓里奇)或者微积分基础教程(菲赫金戈尔兹),不建议最一开始看Rudin,陷入形式化的语言就完了,多算算吧,对了,多说一句,最好把实数集公理掌握的一清二楚,实数集完备性公理七条互相推导要滚瓜烂熟,至于Stokes公式,相信我,你不知道distributionfundamental solution、微分流形这些东西是永远不可能真正懂得的。线性代数这个可以看许以超的线性代数与矩阵论,跳掉一开始多项式有关的东西,最后那部分广义逆是计算机理论有关的,如果不aiming at it可以omit。集合论则随便挑一本看看,只要掌握以下内容:数是怎么来的,选择公理的几个等价命题,没有使用很多次量也不可能学懂Zorns Lemma,不过接触多了也就懂了,不需要强求

好,开始正式推荐啦,我接下来说的都是本科阶段必读的科目,是为了博士能比较快的进入到最前沿,所以只是说了最基础的东西,稍微advanced(当然也只是相对于一般人)的东西我在结尾处再补吧。
哦对了,推荐问问题的一个网站:
http://math.stackexchange.com/

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好,首先是分析,这个其实相对来说国内本科教的到位一些,哪怕教的很浅,其实也都教的比较完善。
首先,需要看Stein的傅里叶分析
http://book.douban.com/subject/1759689/
(我是指这一本,因为他有另一本是书名是欧式空间上的傅里叶分析之类的),复分析,实分析。分别应该对应于人们的大一暑假,大二上和大二下。当然出于某些原因,你们可以把复分析和实分析的阅读顺序反一下(貌似国内都是先实再复)。我需要点评一下这几本书么?笑。exercises都做掉,problems看看就好,我是做了一部分problems,曾经想了一年的题目后来发现可以写一篇论文什么的。。。至于Stein四部曲第四本也就是泛函分析,我当时学泛函的时候丫还没进军大陆,我是看的别的书,但我觉得别的书也不错。Stein写书就是写得好,而且不空洞。可能有人发现我没有提测度论,这是因为我自己都没有系统学过啊,其实测度论可以不学的。
那么大二结束的那个暑假,可以开始看Rudin的实分析与复分析啊,Rudin写书的一个特点是很形式化,一点都不像个搞分析的。。。习题,你们应该尽量做,做不出放在脑海深处时不时的想一想(警告,不要在路上想,太危险,会撞到树的,亲身经历。。。)这本书其实可以补充一些Stein的(比如测度论),而且会有一点泛函的东西在最后面,目测大二暑假心无旁骛的学一个月可以学完(不见得能刷完题目,但是由于书中许多东西已经在Stein里都出现过了,所以学完没问题,至于回味多久嘛,这个就见仁见智啦)。大二暑假另外一个月要干别的的,至于干什么容后再叙。
到了大三,要学泛函分析了,推荐的阅读顺序如下,Rudin的泛函分析第一部分,然后是Peter Lax的泛函分析前二十章(好好看Lax里面的应用,我最喜欢Lax的一点就是,他其实每个知识点都会讲两章,一章理论,一章推论),然后是Rudin泛函分析第二部分(这个是非常重要的,就是第六章,distribution theory,基本上我现在关于distribution的所有东西都来自于这里,),然后他的傅里叶分析是不是看的一头雾水?至于什么elliptic operatorregularity更是不知所云?嘿嘿,我的建议是,多看几遍。。。最好能找几个水平够硬的人,给他们做一次报告,然后花一礼拜准备,然后你就会搞明白啦。as usual,题目尽量做。然后Tauberian对比RudinLax看,很有感觉的哦。Rudin的第三部分据说写的不好,我就不推荐啦,据说应该接着Lax的看下去,看到大三寒假结束吧,能看多少是多少,算子代数已经比较专门了,不见得本科就要学。还有一个选择,在大三的寒假,可以迅速的看一遍ArnoldODE(我assume大家在大二下的时候已经跟着上了一学期的ODE,我就是这样的),然后你们会发现Arnold是多么的几何化,多么的直观,只有他能把nontrivial的东西写的这么trivial(前提是得有一点直观)。。。然后是大三下,当然要好好地学PDE啦,个人感觉,就是有一个大概的概念吧,PDE是多么广博的subject,出了多少牛paper和水paper,怎么可能一学期学好呢。。推荐看EvansPDE,至少看完前六章,可以跳掉第四章(还是第三章我忘了,反正这两个一个是特征线解法一个是特殊解法,要看的是特征线那个)。并且应该辅助性的看一点Sobolev space的内容。我看的是Luc Tartarintroduction to Sobolev spaces and interpolation spaces。这个和Evans第六章很多内容有重叠,应该尽量往后面那部分也就是插值空间理论看。然后Evans从第六章之后就能看多少就看多少吧,不过据说第七章可跳,第十一章(就是variational methods那块儿我没记错吧?)应该要看的。大三暑假有别的事情要做,可以不用接着看分析了。如果有人求虐,问我要看什么,那我可以告诉你,从大三暑假以后还想要学点分析的话,有如下三个选择:Gilbarg-Trudinger的二阶椭圆偏微分方程(或者林芳华(终于看到华人了有没有)的elliptic PDE),或者是Stein的调和分析,或者是Hormanderanalysis of linear partial differential operators(没说要看完啊,能看掉第一卷就很不错啦),或者对多复变或者复几何有兴趣的话可以看看Hormander的多复分析导引。我个人的选择是在大四上学了另一本调和分析(Mascalu-Schlag),并参加一个Hormanderanalysis of xxx)第一卷的讨论班,由于要申请,效率不是很高。。
分析篇,以上。

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开始说一下代数,这个是国内学生最薄弱的环节,但事实上国内真正的厉害的本科生(就我接触到的而言),代数都是很厉害的,毕竟最厉害的人大部分都是aim at 代数几何或者数论的。我很为难的是要不要把代数几何算在代数里,现在我决定只放一两本代数几何的入门书籍就够了。
大一学完了线性代数,那么大一结束的暑假应该开始看Artin的《代数》(特意用书名号以防人们不知道我指的是哪本书)了,这是一本非常好的书,暑假应该要看完的是群论的部分,应该看的是第二、六、七、九章,跳过的章节应该线性代数里面都学过了,没有学好的可以自行翻阅相关章节来学一下,他的表示论写的太薄不必看,老规矩是题目尽量做,其实大部分都简单,就是有些难的应该自己想一想。我没记错的话第九章,讲了SU^2=S^3的结构,非常的直观。然后大二上就应该看十到十五章,如果有空可以看看Galois作为一点点预习。然后大二下应该看MorandiFields and Galois theory,一本GTM,最后那个GaloisCohomology这时候多半是看不懂的,不过没关系,以后应该就能懂的,不要着急。大二结束的暑假,应该看看Serre的有限群的线性表示,这是一本薄书,作为对表示论的一点点了解,尤其是character theory,本质上所有紧群(有限群,紧李群之类的)的表示论就是character theory
大三上应该看AtiyahMacdonald的交换代数,(注意,习题全部做掉!)和Miles Reid的大学代数几何这两本薄书。M. Reid那书可以找找代数几何的感觉,不必强求能看懂,最后对于cubic surface27根线的证明太强暴,可以自己想想如果是自己该怎么证?那么大三下应该看得就是Weibel的同调代数,感受一下范畴有多犯愁吧,然后那个后面的Spectral sequence可以不看,大四再回来看就好了\(^o^)/~。大三暑假读一下Shafarevich的基础代数几何或者Joe HarrisGTM133,代数几何基础教程,放心好了,看不完的,选沙发的话就看完第一卷好了,Joe Harris就看完第一部分好了,我的学长们都说Joe Harris是一本非常好的床头读物,我自己现在还有些上面的习题想不出来怎么做呢。。。
最后说一下大四怎么办呢?有几个选择,看KnappLie Groupsbeyond an introduction,如果嫌厚的话看一下GTM 222,起码了解一下李群李代数的表示论吧;另一个选择就是,看GTM 52,声名远播的Hartshorne,在看scheme的时候可以配合着MumfordRed book,其实看完了AtiyahMacdonald应该就能感觉到一点Scheme的。注意,没有说要看完啊,这个珍爱生命,能看多少是多少。哦对了,如果你somehow懂法语的话,也可以看EGA,几个学长都和我说代数几何最好的起点是此书。。。
代数篇,以上。

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等外卖的时候来说一下几何吧,毕竟将来不出意外的话我是要做几何的。其实在我看来分析和代数都只是工具性的东西,只有几何才是我们的目的呀。没有好的工具其实能做的几何是有限的,所以我觉得应该在大三开始认真的学很多几何,但是大二的时间也可以预习一下。
我觉得一个不错的方案应该是大二上的时候学Spivak的流形上的微积分(最主要是明白stokes公式的证明,以及里面的一些概念,但是要理解的话,非看Hormander不可。。),大二下的时候看do Carmo的曲线与曲面的微分几何,这本书最关键之处就在于提供了大量的例子,我对于学此书的建议只有一个,算。。。哪个学微分几何的不会算是不可能学成的。。然后暑假的时候如果学有余力的话,应该看一些黎曼面了(因为学过了Complex analysisGalois理论,而且应该有一点fundamental groupcovering spaces的感觉了,所以应该在看完Massey(这我以后会提到的,就是代数拓扑最入门的书)之后),推荐MirandaAlgebraic Curves and Riemann Surfaces,这本书当然不可能看完啦,我觉得一个暑假看掉前五章就差不多了。。
大三上就看John. LeeIntroduction to Smooth Manifolds好了,这不是一本好书,但他的确讲的很仔细(仔细到我学完了觉得全书trivial。。。)这本书还很厚,不过有之前Spivak打的底,有些废话章节可以快速扫过,我现在再次回想依然觉得那书trivial,不过我一直认为流形是现代几何学的一种语言,要学懂其实很简单,就是泡在里面就好了,这就需要我们厚厚的John. Lee这本书,让你一两个月都浸泡在流形,想什么都是流形,那就学会啦。。大三下的话就应该看do Carmo的黎曼几何,这本书有两个不足,一、没有用form的语言,这方面我是看了白正国等人写的黎曼几何初步,从而能转化vectorcovector的语言,基本上在计算协变导数等等情况的时候,用covector会简便很多,不过这种事情也是见仁见智啦,可能只用vector的语言也就够了也未可知呢。。二、此书还是稍显单薄,比较重要的对称空间这个例子讲的不够多(就几个习题),而且比较定理讲的也不够多,这方面的话,比较定理可以看看Comparison Theorems in Riemannian Geometry,是CheegerEbin写的,对称空间我自己也不懂,也没看过什么靠谱的书,不知道谁能给推荐一下。。到了大三结束的暑假,可以接着看Miranda的黎曼面,看一下Riemann-Roch,感受一下sheafsheaf cohomology。。
然后大四开始,可以看得书就是Griffiths Harris啦,DemaillyComplex Analytic and Differential Geometry(和GH里面挑一本看就好)啦,PeterLiGeometric Analysis啦,YauSchoen写的Lecture Notes on Differential Geometry啦。。上述四本书,复几何和几何分析各挑一本读个几章就好,毕竟还要申请不是。。对了,其实应该看一下Arnold的经典力学中的数学方法的第八章,感受一下辛几何,然后可以再看点别的关于辛几何的书,比如Salamon的几本书,有一本薄书叫Lectures on Floer Homology.

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唉,明天要考试了(还是两门啊卧槽!待会儿去转发锦鲤大王去。。。),今天再作死码一波,来说说我最爱的拓扑吧。
大部分大陆的数学本科生应该都只学过点集拓扑,然后都不知道基本群什么的,这样子的话以后做纯数路子很窄,按照Chern的说法,上个世纪一大半都是代数拓扑的发展,而且Fields Metalists里面也有十多个是做拓扑的。
我觉得比较合适的计划应该是大一就看掉Munkres的拓扑学第一部分,这个真的十分基础,就看看定义,刷刷题好了。然后大二结束的暑假看Massey的代数拓扑导论(Massey有两本代数拓扑入门级读物,都是GTM,我还是推荐这本,同调和上同调还是应该看Hatcher),在学流形和黎曼面之前必然是要懂一点covering space啦。然后大三就看Hatcher吧,习题真的都要做掉,我知道这个很难,我还有几个做不出来。。。大三寒假可以看掉Morse Theory吧,这个我现在还是觉得特别的有意思,尤其是后来我听了报告发现代数几何里面也有代数Morse 理论,也特别神奇,这是几何拓扑入门级读物吧。我记得我当时有一个想法,是用Morse理论来证明Poincare对偶,就是考虑Morse function f-f的奇异点的index的关系,直到后来某个学长和我说这个其实就是Morse homology的想法,关于这个可以看看Milnorh-cobordism。以及大三最一开始可以迅速看完两本关于微分拓扑的“科普书”,分别是Milnor的微分观点看拓扑和GuilleminPollack的微分拓扑,后者是两位作者对Milnor这本小册子的一个小补充。然后大四就看看BottTu的代数拓扑中的微分形式,这本书可以学一点初级的谱序列,以及后面有一点示性类,当然啦,一开始对于Poincare对偶之类的描述比Hatcher的要好看许多。。。之后没准可以看看Hatcher挂在网上的VBKT,或者Milnor的示性类(据说略繁琐),或者Steenrod的纤维丛拓扑学,或者J.P.May的那本代数拓扑。


其实书单里应该有数论的,但是我对数论一窍不通,就只看过Stein的书里面跟数论有关的一点东西,以及东看西看来的一点。。。所以就没法推荐了。。。希望能有懂数论的大神来补充。。。




59楼有人推荐了The PrincetonCompanion to Mathematics. 感觉算是一本不错的科普书,但是太厚了有1k pages,可能看下来花的功夫够人看完Hartshorne了,不过这个推荐的也有道理,算是带领人游览一遍数学各个领域,反正我没看过,但是去的几个大学的数学系图书馆里面好像都摆着这本书,也有看到一些人翻翻动的。。。
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